** Une suite auxiliaire (3)

\((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  est la suite définie par  \(u_0=2\)  et pour tout  \(n\in\mathbb{N}\) ,  \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3u_n+1}\) .

On admet que la suite est bien définie, soit,   pour tout  \(n\in\mathbb{N}\) , \(u_n\ne -\frac 1 3\) et, plus généralement, on admet que, pour tout  \(n\in\mathbb{N}\) , \(u_n>0\) .

La suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  est définie pour tout  \(n\in\mathbb{N}\)  par :  \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\) . 

1. Calculer \(u_1, u_2 \text{ et }u_3\)  puis  \(v_1, v_2 \text{ et }v_3\) .  

2. Démontrer que la suite  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\)   est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.

3. Donner le terme général de  \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) .

4. En déduire que, pour tout  \(n\in\mathbb{N}\) ,  \(u_n=\dfrac{2}{1+6n}\) .